Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，切点为B、C．连接BA并延长交⊙O₁于D，过D点作CB的平行线交⊙O₂于E、F．求证：(1)CD是⊙O₁的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图，过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点C，连接AC． 　　∵GB、GA分别切⊙O2于B、A， 　　∴GB＝GA，同理GC＝GA，∴GA＝GB＝GC，∴AB⊥AC，即∠CAD为直角，∴CD是⊙O1的直径． 　　(2)结论是BC＝BE＝BF．连接AE． 　　在△ABE和△EBD中， 　　∵∠CBA＝∠BEA，又∵BC∥FD， 　　∴∠CBA＝∠BDE，∴∠BEA＝∠BDE， 　　又∵∠ABE＝∠EBD，△ABE∽△EBD， 　　∴＝，即BE2＝BA·BD． 　　由切割线定理，得BC2＝BA·BD，BE＝BC． 　　∵∠CBE＝∠BFE，又BC∥FD， 　　∴∠CBE＝∠BEF，∴∠BFE＝∠FEB，∴BE＝BF，∴BE＝BF＝BC．