题目内容
如图，正方形ABCO的边长为
，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O（α＜45°），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1。
（1）求tanα的值；
（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O（α＜45°），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1。（1）求tanα的值；
（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）四边形 为正方形，∴  ，又∵D是  的中点，∴  ∵由旋转性质可知，  ∴在  中， ，∴   ；（2）过点A1作  轴，垂足为点E，在  中， ，∴  设  ，则 ，在 中， ，根据勾股定理，得  即  ，解得 （舍）， ，∴  又∵点A1在第二象限， ∴点A1的坐标为  ，直接写出点B2的坐标为  ，点C1的坐标为 ；（3）抛物线  过点 ，∴  解得 ∴抛物线的函数表达式为  ，将其配方，得  ，∴抛物线的对称轴是直线  ；（4）存在点P，使  为直角三角形，满足条件的点P共有4个：  ， 。 |
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