Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

4

3

x+8交坐标轴于A、B两点，AE平分∠BAO交y轴于E，点C为直线y=x上在第一象限内一点．
求：（1）求AB的长；
（2）点E的坐标，并求出直线AE的解析式；
（3）若将直线AE沿射线OC方向平移4

2

个单位，请直接写出平移后的直线解析式．

Answer 1

分析：（1）分别求出点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，然后利用勾股定理即可求出AB的长；
（2）过点E作EF⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得到OE=OF，从而可以证明△AOE与△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，OE=EF，AE=AO，然后在Rt△BEF中，根据勾股定理列式求解即可得到OE的长，从而求出点E的坐标，再利用待定系数法求解得到直线AE的解析式；
（3）先利用OC的方向求出横坐标与纵坐标的变化规律是向右4个单位，向上4个单位，然后再把直线AE的解析式根据变化规律整理即可．

解答：解：（1）当y=0时，

4

3

x+8=0，解得x=-6，
当x=0时，y=

4

3

×0+8=8，
∴点A、点B的坐标分别是A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10；

（2）过点E作EF⊥AB于点E，
∵AE平分∠BAO交y轴于E，
∴OE=EF，
又∵AE=AE，
∴Rt△AOE≌Rt△AFE（HL），
∴AF=OA，
∴BF=AB-AF=10-6=4，
BE=OB-OE=8-OE，
在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²，
即（8-OE）²=4²+OE²，
解得OE=3，
∴点E的坐标是（0，3），
设直线AE的解析式为：y=kx+b，

-6k+b=0 b=3

，
解得

k= 1 2 b=3

，
∴直线AE的解析式为：y=

1

2

x+3；

（3）过C作CD⊥x轴于点D，
∵点C为直线y=x上在第一象限内一点，沿射线OC方向平移4

2

个单位，
∴OD=CD=4

2

×cos45°=4，
∴平移规律是向右4个单位，向上4个单位，
∴直线AE平移后的直线解析式为y-4=

1

2

（x-4）+3，
即y=

1

2

x+5．

点评：本题是对一次函数的综合考查，直线与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，勾股定理的应用，以及平移变换的规律，综合性较强，但难度不大，只要仔细分析，精心计算不难求解．