Question

【题目】如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接，且

①求证：与互相平分；

②求证：；

（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当，，时，求之长.

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）

【解析】

（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；

（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；

（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.

（1）证明：①连接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴BD、EF互相平分；

②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．

∵EF⊥BE，

∴∠BEF＝90°．

在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．

∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．

在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．

∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．

∵BE∥DF，EF⊥BE，

∴EF⊥DF，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，

在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，

∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．

即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，

则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．

∵∠DPB＝135°，

∴∠BPE＝45°，

∴∠PBE＝45°，

∴BE＝PE．

∴△PBE是等腰直角三角形，

∴BP＝BE，

∵BP+2PD＝4 ，

∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，

∵AB＝4，

∴（2）2+PE2＝2×42，

解得，PE＝2，

∴BE＝2，

∴PD＝2﹣2．