Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），
（1）当t=2时，BP=

 

，Q到BC的距离是

 

；
（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：BP=BC-PC=5-t，即可求得BP的长；过点Q作QD⊥BC于D，易证：△BDQ∽△BCA，由相似三角形的对应边成比例，即可求得DQ的长，即是Q到BC的距离；
（2）首先根据（1）中的知识，求得QD的长，又由S_{四边形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ，代入求值即可得到答案；
（3）由相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值．

解答：解：（1）由题意得：PC=t，BP=BC-PC=5-t，
∴当t=2时，BP=3，
过点Q作QD⊥BC于D，
∵∠C=90°，
∴QD∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，
∴

BQ

BA

=

DQ

AC

，
∵BC=5，AC=12，BQ=t=2，
∴AB=

BC2+AC2

=13，
∴

2

13

=

DQ

12

∴DQ=

24

13

；
∴Q到BC的距离是

24

13

；
故答案为：3，

24

13

．

（2）过Q作QD⊥BC于D，由△QBD∽△ABC，
可得：QD=

12

13

t，
∴S_{四边形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ=

1

2

×5×12-

1

2

（5-t）•

12

13

t=

6

13

t²-

30

13

t+30；

（3）能，
当PQ∥AC时，四边形ACPQ能成为直角梯形，
∴∠QPB=∠C=90°，
∵BQ=t，BP=5-t，PQ=

12

13

t，
∵BQ²=BP²+PQ²，
∴t=

65

18

，
∵点Q到达A需13s，
同理：当P从B返回时，由B→C，
BQ=t，BP=t-5，PQ=

12

13

t，
即可求得t=

65

8

，
当P从C第二次向B运动时，
BQ=t，BP=15-t，PQ=

12

13

t，
即可求得t=

65

6

，
∴t=

65

8

或

65

6

，
∴t的值为

65

18

或

65

8

或

65

6

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求解等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．