题目内容

（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=
12
x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
分析：（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．
（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．
②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．
解答：解：（1）由
1
2
x+1=0，得x=-2，∴A（-2，0）．
由
1
2
x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx-3经过A、B两点，
∴
(-2)2•a-2b-3=0
42•a+4b-3=3

∴
a=
1
2
b=-
1
2
，
则抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-
1
2
x-3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO．
∴sin∠ACP=sin∠AEO=
OA
AE
=
2
5
=
2
5
5
．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
1
2
x-3．则点P（m，
1
2
m2-
1
2
m-3）．
已知直线AB：y=
1
2
x+1，则点C（m，
1
2
m+1）．
∴PC=
1
2
m+1-（
1
2
m2-
1
2
m-3）=-
1
2
m2+m+4=-
1
2
（m-1）2+
9
2

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[-
1
2
（m-1）2+
9
2
]•
2
5
5
=-
5
5
（m-1）2+
9
5
5

∴PD长的最大值为：
9
5
5
．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=
2
5
5
，
∴cos∠ACP=
1
5
，
又∵∠FDP=∠ACP
∴cos∠FDP=
DF
DP
=
1
5
，
在Rt△PDF中，DF=
1
5
PD=-
1
5
（m2-2m-8）．
又∵BG=4-m，
∴
S△PCD
S△PBC
=
DF
BG
=
-
1
5
(m2-2m-8)
4-m
=
m+2
5
．
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
9
10
时，解得m=
5
2
；
当
S△PCD
S△PBC
=
m+2
5
=
10
9
时，解得m=
32
9
．
点评：本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．
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12
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65°
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．

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