Question

如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE=BD，BE、AD相交于点F．
求证：
（1）△ABD≌△BCE；
（2）CE²=DF•DA．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=BC，∠ABD=∠C=60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD=∠CBE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△BDF∽△ADB，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得CE²=DF•DA．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠C BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴

BD

AD

=

DF

BD

，
∴BD²=DF•DA，
∵CE=BD，
∴CE²=DF•DA．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意有两角对应相等的三角形相似定理的应用．