题目内容

如图，已知一次函数y=kx+3（k＜0）的图象分别交x轴、y轴于点A，B，且与反比例函数y=-
24x
的图象在第二象限交于点C（m，6），CD⊥x轴于点D．
（1）m=
 
，一次函数的表达式为
 
；
（2）试证明线段OB是△ADC的中位线；
（3）若点P从点A沿线段AD向D运动，同时点Q从点C沿线段CA向点A运动，运动速度均为1个单位/秒．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得A，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，求出t值；若不存在，请说精英家教网明理由．
分析：（1）把点C代入到y=-
24
x
，求得m值，从而解得．
（2）O是AD的中点，又因为OB⊥x轴，CD⊥x轴，由△BAO∽△CAD证得点B是AC的中点，而证得．
（3）由CD=6，AD=8求得AC=10，由AQ=10-t，AP=t，通过两种情况而解得t的值．
解答：（1）解：把点C代入到y=-
24
x
，
解得m=-4，
所以函数式为：y=-
3
4
x+3．

（2）证明：∵直线y=-
3
4
x+3与x轴的交点为A（4，0）
又C（-4，0）
∴OD=OA=4
∴O是AD的中点
∵OB⊥x轴，CD⊥x轴
∴∠CDA=∠BOA=90°
又∠BAO=∠CAD
∴△BAO∽△CAD
∴
AB
AC
=
AO
AD
=
4
8
=
1
2

∴AB=
1
2
AC
∴点B是AC的中点
∴OB是△ADC的中位线．

（3）解：∵CD=6，AD=8
∴AC=10，
∴AQ=10-t，AP=t
①当
AQ
AC
=
AP
AD
时，△AQP∽△ACD，得
10-t
10
=
t
8

∴t=
40
9

②当
AQ
AD
=
AP
AC
时，△AQP∽△ADC，得
10-t
8
=
t
10

∴t=
50
9
．
点评：本题考查了一次函数的应用，考查了函数上的点，而求点中的坐标未知数，考查了一次函数与直角坐标系构成三角形的中位线，以及考查了一次函数上动点中未知数的求解．
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ax
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8x
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k2x
上．
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4-2m
x
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BC
AB
=
1
3
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（3）根据图象，写出当反比例函数的值小于一次函数的值时x 的取值范围？

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