题目内容
如图，已知一次函数y=kx+3（k＜0）的图象分别交x轴、y轴于点A，B，且与反比例函数y=-| 24 | x |
（1）m=
（2）试证明线段OB是△ADC的中位线；
（3）若点P从点A沿线段AD向D运动，同时点Q从点C沿线段CA向点A运动，运动速度均为1个单位/秒．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得A，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，求出t值；若不存在，请说
明理由．
分析：（1）把点C代入到y=-
，求得m值，从而解得．
（2）O是AD的中点，又因为OB⊥x轴，CD⊥x轴，由△BAO∽△CAD证得点B是AC的中点，而证得．
（3）由CD=6，AD=8求得AC=10，由AQ=10-t，AP=t，通过两种情况而解得t的值．
| 24 |
| x |
（2）O是AD的中点，又因为OB⊥x轴，CD⊥x轴，由△BAO∽△CAD证得点B是AC的中点，而证得．
（3）由CD=6，AD=8求得AC=10，由AQ=10-t，AP=t，通过两种情况而解得t的值．
解答：（1）解：把点C代入到y=-
，
解得m=-4，
所以函数式为：y=-
x+3．
（2）证明：∵直线y=-
x+3与x轴的交点为A（4，0）
又C（-4，0）
∴OD=OA=4
∴O是AD的中点
∵OB⊥x轴，CD⊥x轴
∴∠CDA=∠BOA=90°
又∠BAO=∠CAD
∴△BAO∽△CAD
∴
=
=
=
∴AB=
AC
∴点B是AC的中点
∴OB是△ADC的中位线．
（3）解：∵CD=6，AD=8
∴AC=10，
∴AQ=10-t，AP=t
①当
=
时，△AQP∽△ACD，得
=
∴t=
②当
=
时，△AQP∽△ADC，得
=
∴t=
．
| 24 |
| x |
解得m=-4，
所以函数式为：y=-
| 3 |
| 4 |
（2）证明：∵直线y=-
| 3 |
| 4 |
又C（-4，0）
∴OD=OA=4
∴O是AD的中点
∵OB⊥x轴，CD⊥x轴
∴∠CDA=∠BOA=90°
又∠BAO=∠CAD
∴△BAO∽△CAD
∴
| AB |
| AC |
| AO |
| AD |
| 4 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
∴AB=
| 1 |
| 2 |
∴点B是AC的中点
∴OB是△ADC的中位线．
（3）解：∵CD=6，AD=8
∴AC=10，
∴AQ=10-t，AP=t
①当
| AQ |
| AC |
| AP |
| AD |
| 10-t |
| 10 |
| t |
| 8 |
∴t=
| 40 |
| 9 |
②当
| AQ |
| AD |
| AP |
| AC |
| 10-t |
| 8 |
| t |
| 10 |
∴t=
| 50 |
| 9 |
点评：本题考查了一次函数的应用，考查了函数上的点，而求点中的坐标未知数，考查了一次函数与直角坐标系构成三角形的中位线，以及考查了一次函数上动点中未知数的求解．
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