题目内容

如图，抛物线y= $数学公式$ x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若E是抛物线上异于C的点，且S_△ABE=S_△ABC，则满足条件的点E有______ 个；
（3）判断△ABC的形状，证明你的结论．

解：（1）∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx-2过A（-1，0）点，
∴0= $\text{[math]}$ ×1+b×（-1）-2，
∴b=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，
= $\text{[math]}$ （x²-3x）-2，
= $\text{[math]}$ （x²-3x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）-2，
= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ -2，
= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴顶点D的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；

（2）∵E是抛物线上异于C的点，且S_△ABE=S_△ABC，
∴只需满足E到x轴的距离等于C到x轴的距离即可，
∴满足条件的点E有3个；

（3）∵抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴当y=0，
∴0= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
当x=0，y=-2，
∴AO=1，CO=2，
∴AC= $\text{[math]}$ ，
BO=4，
∴BC=2 $\text{[math]}$
∴AB=5，
∵AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
分析：（1）根据抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx-2过A（-1，0）点，直接求出b的值，再根据配方法求出二次函数顶点坐标即可；
（2）根据三角形面积求法得出等底同高面积相等，即可得出符合要求的答案；
（3）分别求出三角形三边，即可得出三角形的形状．
点评：此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及三角形面积求法和三角形形状的判定方法，此题基础性较强，主要结合图形分析注意计算的正确性．