Question

已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且BC=4

3

，求△ECD的面积．

Answer 1

分析：由矩形ABCD，得到AD=BC=4

3

，由勾股定理得到3AB²=AD²=(4

3

)2，求出AB=4，过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，证四边形EFDN是矩形，推出EF=DN，DF=EN，由勾股定理求出AE=2

3

，DE=6，根据三角形的面积公式得到4

3

EF=2

3

×6，求出EF，由勾股定理求出DF、EN的长根据△ECD的面积

1

2

DC•EN求出即可．

解答：解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=4

3

，
∠DAB=90°=∠ADC，
∵∠ADB=30°，
由勾股定理得：3AB²=AD²=(4

3

)2，
解得：AB=4，
过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，
∵∠ADC=90°，
∴∠EFD=∠END=∠ADC=90°，
∴四边形EFDN是矩形，
∴EF=DN，DF=EN，
在△ADE中，由勾股定理得：AE=2

3

，DE=6，
根据三角形的面积公式得：4

3

EF=2

3

×6，
解得：EF=3，
由勾股定理得：DF=

DE2-EF2

=3

3

=EN，
∴△ECD的面积是

1

2

DC•EN=

1

2

×4×3

3

=6

3

，
答：△ECD的面积是6

3

．

点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．