题目内容

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=2ax²+ax- $数学公式$ 经过点B．
（1）写出点B的坐标______；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过B作BD⊥x轴于D；
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠CAO=90°-∠ACO；
又∵BC=AC，∠BDC=∠AOC=90°，
∴△BDC≌△COA；
∴AO=DC=2，BD=OC=1，
∴B（-3，1）．

（2）由于抛物线过B点，则有：
2a×9+（-3）•a- $\text{[math]}$ =1，
解得a= $\text{[math]}$ ；
∴y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．

（3）设平移后的三角形为△A′B′C′；
当y=2时， $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ =2，
解得x=3（负值舍去）；
∴A′（3，2），C′（2，0）；
∴平移过程所用去的时间为3÷1=3秒；
S_扫=S_△ABC+S_?AA′C′C
= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²+3×2=8.5（平方单位）．

（4）①若以AC为直角边，C为直角顶点；
设直线BC交抛物线y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 于P₁，
易求得直线BC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
不难求得P₁（1，-1），此时CP₁=AC；
∴△ACP₁为等腰直角三角形；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；
过A作AF∥BC，交抛物线y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 于P₂，易求得直线AF的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+2；
不难得出P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（不合题意舍去）；
此时AP₂≠AC，
∴△ACP₂不是等腰直角三角形；
∴符合条件的P点有一个：P（1，-1）．
分析：（1）由于△ABC是等腰Rt△，若过B作BD⊥x轴于D，易证得△BCD≌△CAO，则BD=OA=2，BD=OC=1，即可求出B点坐标为：B（-3，1）．
（2）将B点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数a的值，也就求得了抛物线的解析式．
（3）设平移后的三角形为△A′B′C′，由于是沿x轴正方向平移，所以A、A′的纵坐标不变，且A′在抛物线的图象上，由此可求出A′的坐标，即可求出AA′，CC′的距离，进而可求出平移过程所用的时间；
那么扫过部分的面积=△ABC的面积+?AA′C′C的面积．
（4）此题要分两种情况进行讨论：
①以C为直角顶点，AC为直角边；可求出直线BC的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点坐标，然后判断CP是否与AC相等即可．
②以A为直角顶点，AC为直角边，方法同①．
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积求法等知识，需注意的是（4）题应考虑到分别以A、C为直角顶点两种情况，不要漏解．