Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＜0  ②b＜a+c  ③4a+2b+c＞0  ④2c＜3b  ⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）
其中正确的结论的有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=1，
∴-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②当x=-1时，由图象知y＜0，
把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴②错误；
③图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，
能得到：a＜0，c＞0，-

b

2a

=1，
所以b=-2a，
所以4a+2b+c=4a-4a+c＞0．
∴③正确；
④∵由①②知b=-2a且b＞a+c，
∴b＞-

b

2

+c，
∴

3b

2

＞c，
∴3b＞2c，④正确；
⑤图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a＜0，c＞0，-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴a+b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m-2）a，
假设a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）
即-a＞m（m-2）a，
所以（m-1）²＞0，
满足题意，所以假设成立，
∴⑤正确．
故正确结论是①、③，④，⑤共有4个．
故选C．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．