题目内容

请你自己作图：画一个平行四边形ABCD，顶点按逆时针方向标上字母A，B，C，D、连接两条对角线AC，BD，这两条对角线相交于一点O、设F是边BC上的一点，连接线段AF，DF、设BD和AF相交于点E，AC和DF相交于点G．已知四边形EFGO的面积为10，三个三角形ABE、AOD、CDG的面积的和为75，那么平行四边形ABCD的面积为________．

130
分析：可将平行四边形的面积分割为各个小三角形面积的和，进而由已知条件中各个小三角形的面积通过转化即可得出平行四边形ABCD的面积．
解答：设所求的平行四边形ABCD的面积为S，
则（S_△DBF+S_△AFC-S_EFGO）+（S_△ABE+S_△AOD+S_△CDG）=S_ABCD，
又S_△DBF=S_△ABF，S_△DBF+S_△AFC=S_△ABF+S_△AFC=S_△ABC= $\text{[math]}$ S，
所以由已知得 $\text{[math]}$ S-10+75=S，
$\text{[math]}$ S=65，S=130，
故此题应填130．
点评：本题主要考查平行四边形的性质，题中主要涉及面积计算问题，应熟练掌握此类问题并能够求解．

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阅读下列材料：
   李老师提出一个问题：“已知：如图1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α为锐角），在射线AC上取一点D，使构成的△ABD唯一确定，试确定线段BD的取值范围．”
   小明同学说出了自己的解题思路：以点B为圆心，以m为半径画圆（如图2所示），D为⊙B与射线AC的交点（不与点A重合），连结BD，所以，当BD=m时，构成的△ABD是唯一确定的．
    李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”

对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答（写出BD的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．

提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．

提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．

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