题目内容
提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小毛不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；
（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．
（2）小毛不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；
（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．
解答：
解：（1）作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小毛不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC．
如图2，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
则
AD•CE=
BD•CE
则BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不会成功．
（3）分类讨论：
①如图3，若分割直线经过△ABC顶点，由（1）（2）可知，只有过等腰三角形的顶角顶点的直线是才可能为“等分积周线”，
即底AC边上的中垂线BD为此时△ABC的“等分积周线”．
②若分割直线不经过△ABC顶点，则分割直线将ABC分割为一个三角形和一个四边形．可分以下三种情况：
（a）直线EF与BC、AC分别交于E、F，如图4所示．
若直线EF平分三角形的周长16，则CF与CE的和是8．
设CF=x，则CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=
=4，
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴
=
，
∴
=
，
EH=
(8-x)，
若分割的两部分面积相等，则
S△CEF=6，
即
•x•
(8-x)=6，
解得x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴当CF=5，CE=3时，直线EF即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（b）若直线E1F1与AB、AC分别交于E1、F1，如图5所示．
由a同理可得，当A E1=3，A F1=5，直线E1F1即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（c）若直线PQ与AB、BC分别交于P、Q，如图6所示．
设BQ=x，则BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=
，
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴
=
，
∴
=
，
PH=
(8-x)
若分割的两部分面积相等，则
S△PBQ=6，
即
•x•
(8-x)=6，
整理可得出：2x 2-16x+25=0，
解得：x1=
＞5（舍去），x2=
，
而当BQ=
时，BP=
＞5，应舍去．
故此种情况不存在．
综上所述，符合条件的直线共有三条，直线BD、直线EF、直线E1F1．
解：（1）作线段AC的中垂线BD即可．（2）小毛不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC．
如图2，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
则
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不会成功．
（3）分类讨论：
①如图3，若分割直线经过△ABC顶点，由（1）（2）可知，只有过等腰三角形的顶角顶点的直线是才可能为“等分积周线”，
即底AC边上的中垂线BD为此时△ABC的“等分积周线”．
②若分割直线不经过△ABC顶点，则分割直线将ABC分割为一个三角形和一个四边形．可分以下三种情况：
（a）直线EF与BC、AC分别交于E、F，如图4所示．
若直线EF平分三角形的周长16，则CF与CE的和是8．
设CF=x，则CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=
| 52-32 |
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴
| EH |
| BG |
| EC |
| BC |
∴
| EH |
| 4 |
| 8-x |
| 5 |
EH=
| 4 |
| 5 |
若分割的两部分面积相等，则
S△CEF=6，
即
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴当CF=5，CE=3时，直线EF即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（b）若直线E1F1与AB、AC分别交于E1、F1，如图5所示．
由a同理可得，当A E1=3，A F1=5，直线E1F1即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（c）若直线PQ与AB、BC分别交于P、Q，如图6所示．
设BQ=x，则BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=
| 24 |
| 5 |
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴
| PH |
| AG |
| BP |
| AB |
∴
| PH | ||
|
| 8-x |
| 5 |
PH=
| 24 |
| 25 |
若分割的两部分面积相等，则
S△PBQ=6，
即
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 25 |
整理可得出：2x 2-16x+25=0，
解得：x1=
8+
| ||
| 2 |
8-
| ||
| 2 |
而当BQ=
8-
| ||
| 2 |
8+
| ||
| 2 |
故此种情况不存在．
综上所述，符合条件的直线共有三条，直线BD、直线EF、直线E1F1．
点评：此题主要考查了相似三角形的综合应用以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的数学思想得出是解题关键．
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