Question

如图：D为等边△ABC内一点，DA=DB，BP=BC，∠BPD=30°．求证：BD平分∠PBC．

Answer 1

分析：如图，连接DC、PC．先证明△ACD≌△BCD，则∠2=∠3=30°，∠ADC=∠BDC；然后利用全等三角形的判定定理SSS证得△BDC≌△BDP，所以它们的对应角相等．

解答：证明：如图，连接DC、PC．
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠1=∠4．
∴在△ACD与△BCD中，

DA=DB ∠1=∠4 AC=BC

，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠2=∠3=30°，
∴∠P=∠3=30°．
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴PD=DC．
∴在△BDC与△BDP中，

BP=BC BD=BD DP=DC

，
∴△BDC≌△BDP（SSS），
∴∠4=∠5，即BD平分∠PBC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．