题目内容
已知：如图，直线
与x轴相交于点A，与直线
相交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）请判断
的形状并说明理由．
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：① S与t之间的函数关系式．
② 当t为何值时，S最大，并求S的最大值．
解：（1）
解得：
∴点P的坐标为（2，
）
（2）将
代入
∴ 
，即OA=4
做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2
∵ tan∠POA=
∴ ∠POA=60°
∵ OP=
∴△POA是等边三角形．
（3）① 当0<t≤4时，如图
在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=
t，OF=
t
∴S=?OF?EF=
当4<t<8时，如图
设EB与OP相交于点C
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t
∴AF=4－
，EF=（8－t）
∴OF=OA－AF=4－（4－t）=t
∴S=（CE+OF）?EF
=
（t－4+t）×
（8－t）
=－
+4
t－8
② 当0<t≤4时，S=
， t=4时，S最大=2
当4<t<8时，S=－+4t－8=－（t－
）
+
t=时，S最大=
∵>2，∴当t=时，S最大=
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