Question

【题目】已知，如图，直线y= x﹣4与x轴，y轴分别交于B、A，将该直线绕A点顺时针旋转α，且tanα= ，旋转后与x轴交于C点．

（1）求A、B、C的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使有一动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A﹣P﹣C的运动到达C点，并且在AP上以每秒2个单位的速度移动，在PC上以每秒 个单位移动，试用尺规作图找到P点的位置（不写作法，保留作图痕迹），并求出所用的最短时间t．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y= x﹣4与x轴，y轴分别交于B、A，

∴A（0，﹣4），B（8，0），

过B作BD⊥AB交AC于D，过D作DE⊥x轴于E，则△AOB∽△BED

∴ = = ，

∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα= = ，

∴BE=1，DE=2

∴D（9，﹣2）∴直线AC解析式为y= x﹣4

∴C（18，0）

（2）

解：过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点．

设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，

∵S△ACF= AFOC= ACFQ，AF=8，OC=18，AC= = =2 ，

∴FQ= ，

∵△CQP∽△COA，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= + = + = ，

∵FQ是垂线段，

∴点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A﹣P﹣C的运动到达C点，

∴t= ．

【解析】（1）过B作BD⊥AB交AC于D，过D作DE⊥x轴于E，则△AOB∽△BED，得到 = = ，求出点D坐标，求出AC的解析式即可求出点C坐标．（2）过点（0，4）作AC的垂线垂足为Q，该垂线与x轴的交点即为P点．设点F（0，4），则A、F关于x轴对称，所以AP=FP，首先证明t= ，由此推出
点P就是所求的点，此时动点能在最短的时间内从点A出发，沿着A﹣P﹣C的运动到达C点，求出FQ的长即可解决问题．
【考点精析】掌握一次函数的图象和性质是解答本题的根本，需要知道一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．