题目内容
8．先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c=0，则有一根为1，另一根为$\frac{c}{a}$．
证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c=0，
知b=-（a+c），
∵x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（a+c）±\sqrt{（a+c）^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（a+c）±（a-c）}{2a}$
∴x1=1，x2=$\frac{c}{a}$．
（1）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的各项系数满足a-b+c=0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；
（2）已知方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$．
分析 （1）由a-b+c=0，可得出b=a+c，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为-1，另一根为-$\frac{c}{a}$．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立；
（2）将方程系数相加即可得知“ac-bc+bc-ab+ab-ac=0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$，由题意可知$\frac{ab-ac}{ac-bc}$=1，整理变形后即可得出结论．
解答 解：（1）有一根为-1，另一根为-$\frac{c}{a}$．
证明：设方程的两根为x1，x2，由a-b+c=0，
知b=a+c，
∵x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（a+c）±\sqrt{[-（a+c）]^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（a+c）±（a-c）}{2a}$，
∴x1=-1，x2=-$\frac{c}{a}$．
（2）证明：∵ac-bc+bc-ab+ab-ac=0，
∴方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）的两根分别为1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$．
∵方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0（abc≠0）有两个相等的实数根，
∴$\frac{ab-ac}{ac-bc}$=1，即ab-ac=ac-bc，
∴ab+bc=2ac．
∵abc≠0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$．
点评 本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和$\frac{ab-ac}{ac-bc}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求根公式表示出方程的解是关键．
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，沿DE折叠使点A与点C刚好重合，则CD的长为$\frac{25}{8}$．| A． | 矩形的对角线相等 | |
| B． | 平行四边形的对角线互相平分 | |
| C． | 对角线相等的四边形是矩形 | |
| D． | 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 |
如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上，的点B′处，点A落在点A′处，若AE=6，BF=10，则AB=8．
如图，在矩形ABCD中，用直尺和圆规作BD的垂直平分线EF，交AB于点G，交DC于点H，若AB=4，BC=3，则AG的长为（ ）| A． | $\frac{25}{8}$ | B． | $\frac{7}{4}$ | C． | $\frac{7}{8}$ | D． | $\frac{5}{8}$ |