Question

如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．

    (1)求线段BC的长；

    (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：

    (3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE¹F¹,使点E的对应点E¹落在线段AB上，点F的对应点是F¹，E¹F¹交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG?

Answer 1

考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程

分析：（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30^0，

 由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC为6 ，从而BC= （2）过点Q作QN∥0B交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t

PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式

(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA=90⁰

通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出

解答：(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形  ∴∠BAC=∠AOB=60。

∵BC⊥AB ∴∠ABC=90⁰  ∴∠ACB=30⁰∠OBC=30⁰

∴∠ACB=∠OBC  ∴CO=OB=AB=OA=3

∴AC=6  ∴BC=AC=

(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N

∴∠QNA=∠BOA=60⁰=∠QAN  ∴QN=QA

∴△AQN为等边三角形

∴NQ=NA=AQ=3-t

∴NON=3- (3-t)=t

∴PN=t+t=2t

∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ

∴

∴∴

∵EF∥x轴

∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30⁰

∴EF=BE∴m=BE=OB-OE

(0<t<3)

(3)解：如图2

 

 ∴∠AEG=600=∠EAG

  ∴GE¹=GA  ∴△AE’G为等边三角形

∴∠l=∠2   ∠3=∠4

∵∠l+∠2+∠3+∠4=180⁰∴∠2+∠3=90⁰

即∠QGA=90⁰

 

 

 

 

 

 

  

  

   ∵EF∥OC

  

∵∠FCP=∠BCA   ∴△FCP∽△BCA．

∵2BQ—PF=QG ∴∴t=1∴当t=1 时，2BQ—PF=QG