Question

已知二次函数y=mx²-（m-3）x-1．
（1）求证：不论m取何值，这个二次函数的图象都与x轴有两个公共点；
（2）当m=

9

2

时，这个二次函数的图象与x轴交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）设第（2）题中抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）证明判别式△＞0，即可解决问题．
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可解决问题．
（3）求出抛物线的顶点坐标即可解决问题．

解答：解：（1）
△=[-（m-3）]²+4m
=m²-6m+9+4m
=（m-1）²+8，
∵（m-1）²≥0，8＞0，
∴△＞0，
∴不论m取何值，这个二次函数的图象都与x轴有两个公共点．
（2））当m=

9

2

时，y=

9

2

x2-

3

2

x-1，
当y=0时，

9

2

x2-

3

2

x-1=0，
解得：x=-

1

3

或x=

2

3

，
∴AB=

2

3

-（-

1

3

）=1．
（3）抛物线y=

9

2

x2-

3

2

x-1的顶点坐标为（λ，μ），
则λ=-

- 3 2

2× 9 2

=

1

6

，μ=

4× 9 2 ×(-1)-(- 3 2 )2

4× 9 2

=-

9

8

，
∴抛物线的顶点P的坐标为P（

1

6

，-

9

8

），
∴△ABP的面积=

1

2

×1×

9

8

=

9

16

．

点评：该题主要考查了抛物线与x轴的交点及其应用问题；解题的关键是数形结合，灵活运用函数、方程等代数知识来分析、判断、推理或解答．