Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=9，⊙O与外切，且⊙O与AB、BC相切．⊙O′与AD、CD相切，设⊙O的半径为x，⊙O与⊙O′的面积的和为S，求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据题意设⊙O′的半径为y，⊙O的半径x，先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系，然后再根据面积公式写出S与x之间的关系，这个关系就是一个函数关系，再根据二次函数的最值即可求解此题．

解答：解：设⊙O′的半径为y，
过O与O′分别作CD与BC的垂线OH，O′F，垂足分别为H，F，OH、O′F交于点E，
则有：O′E=8-（x+y），OE=9-（x+y）
由勾股定理可得：
（x+y）²=[8-（x+y）]²+[9-（x+y）]²．
整理，得（x+y-29）（x+y-5）=0，
由题意知1≤x≤4，∴x+y=5，y=-x+5，
∴S=πx+πy=π（2x-10x+25），=2π[（x-

5

2

）²+

25

4

]，
故：当x=

5

2

时，S_min=

25

2

π；
当x=4时，s_max=17π．

点评：本题主要考查了相切两圆的性质，同时考查了二次函数的最值及勾股定理，难度较大，再做题的过程中关键画出正确辅助线以打开思路．