Question

已知：如图，ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA>OB。
（1）求cos∠ABC的值；
（2）若E是x轴正半轴上的一点，且S_△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO 是否相似，同时说明理由；
（3）点M在平面直角坐标系中，点F在直线AB上，如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，请直接写出F点坐标。

Answer 1

解：（1）解方程x²-7x+12=0，
得x₁=4，x₂=3，
∵OA> OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得
 ；
（2）
∵点E在轴x上，S_△AOE=，
∴AO·OE=，
∴OE=
∵点E在x轴的正半轴上，
∴E（，0），
由已知可知D（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y= kx+b，
将D、E两点的坐标代人得，解得
所以，过D.E两点的直线的解析式为y=x-，
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=，
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，AD=6，
∵OE/OA=OA/AD，
∴△AOE∽△DAO
（3）满足条件的点有4个：
 。