题目内容
已知矩形ABCD中，AB=4，对角线BD=2AB，且BE平分∠ABD，点P从点D以每秒2个单位沿DB方向向点B运动，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S。
（1）若t=2时，求证：△DBA∽△PBQ；
（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
（3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
（2）求S关于t的函数关系式及S的最大值；
（3）在运动的过程中，△BQM能否成为等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵ t=2
∴ BQ=2，PB=4
，∠PBQ=∠PBQ
∴ △PBQ∽△DBA；
（2）过点Q作△PBQ的高h，则
=
当t=2时，
；
（3）分三种情况讨论；
①当∠QBM=∠BMQ=30°时，则
∠AQM=60°=∠ABD
∴ PQ//BD
所以与题意矛盾，不存在；
②当∠QBM=∠BQM=30°时，则
BQ=2PB即2(8-2t)=t得
≤4
③当∠BQM=∠BMQ=75°时，作QF⊥BP则
PB=BF+PF=BF+QF=
=8-2t
得
≤4
∴
。
∴ BQ=2，PB=4
，∠PBQ=∠PBQ∴ △PBQ∽△DBA；
（2）过点Q作△PBQ的高h，则
=
当t=2时，
；（3）分三种情况讨论；
①当∠QBM=∠BMQ=30°时，则
∠AQM=60°=∠ABD
∴ PQ//BD
所以与题意矛盾，不存在；
②当∠QBM=∠BQM=30°时，则
BQ=2PB即2(8-2t)=t得
≤4③当∠BQM=∠BMQ=75°时，作QF⊥BP则
PB=BF+PF=BF+QF=
=8-2t得
≤4∴
。
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，点Q从点B以每秒1个单位沿BA方向向点A运动，设运动时间为t秒，△BPQ的面积为S．
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