题目内容

如图，已知AB是⊙O的直径，AD⊥DC，弦AC平分∠DAB，
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD=2，AC= $数学公式$ ，求AB的长．

（1）证明：连结OC，如图，
∵弦AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：连结AB，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连结OC，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，而∠1=∠3，则∠2=∠3，所以OC∥AD，由于AD⊥DC，根据平行线的性质得OC⊥DC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用相似三角形的判定方法易得Rt△ABC∽Rt△ACD，然后利用相似比可计算出AB．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．