题目内容

如图，已知A（3，0），B(
3
2
，
3
3
2
)，动点P、Q同时从O、B两点出发，分别沿OA、BO方向匀速移动，精英家教网它们的速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）设△OPQ的面积为y个平方单位，求y与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，QP2有最小值？最小值是多少？
（3）是否存在某个时刻t，能使△OPQ的面积为
3
2
个平方单位？若存在，求出相应的t值，并判断△OPQ的形状；如果不存在，说明理由．
分析：（1）根据已知条件表示出QC、OP的长，然后表示出三角形的面积即可；
（2）在直角三角形利用勾股定理求得QP的平方，然后利用配方法求得其最小值即可；
（3）表示出三角形BPQ的面积，然后利用直角三角形的性质求出相应的时间即可．
解答：精英家教网解：（1）如图，过点B作BM⊥OA于点M，在Rt△QOM中，
OB=
OM2+BM2
=
(
3
2
)2+(
3
3
2
)2
=3，tan∠BOA=
3
3
2
3
2
=
3

所以∠BOA=60°．又OP=t，BQ=t，则QO=3-t，…（3分）
过点Q作QC⊥OA于点C，则在Rt△QOC中，QC=sin60°×QO=
3
(3-t)
2
，
所以y=
1
2
×QC×OP=
3
t(3-t)
4
(0≤t≤3)．               …（5分）

（2）在Rt△QOC中，OC=cos60°×QO=
3-t
2

在Rt△QPC中，PC=|OC-OP|=
3
2
|1-t|，PC2+QC2=QP2，
∴QP2=(
3
2
|1-t|)2+[
3
(3-t)
2
]2=3t2-9t+9=3(t-
3
2
)2+
9
4
…（8分）
∵0＜t=
3
2
＜3，∴当t=
3
2
时，QP2有最小值，最小值是
9
4
．…（10分）

（3）∵S△BPQ=
3
2
，
∴
3
t(3-t)
4
=
3
2
，即t2-3t+2=0，
解得t1=1，t2=2经检验，t1、t2都符合题意．
故存在某个时刻即当 t=1s或t=2s时，能使△OPQ的面积为
3
2
．…（12分）
①当t=1时，OP=1，QO=2，则 OC=cos60°×QO=
1
2
×2=1，所以点P与点C重合，因此△OPQ为直角三角形；
②当t=2时，OP=2，QO=1，则QP2=3×22-9×2+9=3，所以QO2+QP2=OP2，因此△OPQ为直角三角形．
综上，当t=1s或t=2s时，△OPQ为直角三角形．      …（14分）
点评：本题主要考查了二次函数的最值、直角三角形的判定、图形面积的求法、勾股定理以及二次函数的应用等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．
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如图，已知△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线，与BC的延长线交于D，且AD=
3
+1，CD精英家教网=2，∠ADC=30°
（1）AC与BC的长；
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40、尺规作图：如图，已知直线BC及其外一点P，利用尺规过点P作直线BC的平行线．（用两种方法，不要求写作法，但要保留作图痕迹）
精英家教网如图，已知：DE∥BC，AB=14，AC=18，AE=10，则AD的长为（　　）
A、
9
70
B、
70
9
C、
5
126
D、
126
5
13、如图，已知直线AB∥CD，∠1=50°，则∠2=
50
度．

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