Question

如图1，△ABC内接于半径为4cm的⊙O，AB为直径，弧BC长为

4π

3

cm．
（1）计算∠ABC的度数；
（2）将与△ABC全等的△FED如图2摆放，使两个三角形的对应边DF与AC有一部分重叠，△FED的最长边EF恰好经过弧AB的中点M．求证：AF=AB．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,弧长的计算

专题：

分析：（1）连结OC，设∠BOC=n°，根据扇形的弧长公式求出n的度数；
（2）连结OM，过点F作FH⊥AB于H，构造Rt△FAH，根据直角三角形的性质的出FH=

1

2

AF，由垂径定理的出OM=

1

2

AB，再根据△ABC≌△FED全等得出∠A=∠EFD=30°，故EF∥AB，OM=FH=

1

2

AB，由此可得出结论．

解答：解：（1）如图1，连结OC，设∠BOC=n°，
∵

BC

长为

4π

3

cm，⊙O的半径为4cm，
∴

4×nπ

180

=

4π

3

，
∴n=60，即∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OBC=

180-60

2

=60°，

（2）如图2，连结OM，过点F作FH⊥AB于H，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∴在Rt△FAH中，FH=

1

2

AF，
∵点M为

AB

的中点，
∴OM⊥AB且OM=

1

2

AB，
∵△ABC≌△FED全等，
∴∠A=∠EFD=30°，
∴EF∥AB，OM=FH=

1

2

AB，
∴AF=AB．

点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．