Question

如图，在正方形ABCD，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=

1

4

BC．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若△AEF的面积为5，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：（1）可利用勾股定理求解，两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）边长的计算，有△AEF的面积，以及三角形的边与正方形的关系，运用勾股定理可求出边长．

解答：证明：（1）：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=90°，
∵F是CD中点，
∴DF=CF=

1

2

CD=

1

2

AD，
∵CE=

1

4

BC=

1

4

CD，
∴CE：DF=CF：AD=1：2，
∴Rt△CEF∽Rt△DFA，
∴∠FAD=∠EFC，
∵∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠EFC+∠DFA=90°，
∴∠EFA=180°-90°=90°．
∴AF⊥EF；

（2）设CE=x，则DF=CF=2x，AD=4x，
S_△AEF=

1

2

 ×2 

5

x× 

5

x=5，
解之得，x=1
所以正方形的边长为4x=4．

点评：熟练掌握正方形的性质，能够运用性质解决一些简单的计算问题．