题目内容

两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=
1
2
时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．

（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=
1
2
．∴DC=DF-FC=
7
2
．
∵tanD=
GC
DC
=
EF
DF
=
3
4
，∴GC=
21
8
．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=
45
32
．

（2）当点E运动到AB上时，如图2；
∵tanB=
EF
BF
=
AC
BC
=
4
3
，∴BF=
9
4
．
∴x=FC=BC-BF=
3
4
．
∵DC=DF-FC=
13
4
，
GC
DC
=
3
4
；
∴GC=
39
16
．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=
261
128
．

（3）本题分两种情况：
①当0＜x≤
3
4
时，如图3；DC=4-x；
∵tanD=
GC
DC
=
EF
DF
=
3
4
，∴GC=3-
3
4
x．
∴y=
1
2
（EF+GC）•FC=-
3
8
x2+3x．
②当
3
4
＜x≤3时；如图4；y=S梯形EFCG-S△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面积为-
3
8
x2+3x．
∵tanB=
QF
BF
=
AC
CB
=
4
3
，BF=3-x，
∴QF=4-
4
3
x．
∴EQ=3-QF=
4
3
x-1．
∵S△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S△EHQ：S△EFD=（EQ：ED）2；
∴S△EHQ=
6
25
（
4
3
x-1）2；
∴y=S梯形EFCG-S△EHQ=-
3
8
x2+3x-
6
25
（
4
3
x-1）2=-
481
600
x2+
91
25
x-
6
25
．
练习册系列答案
相关题目
一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来的利润情况可以看做是抛物线的一部分，请结合下面的图象解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几个月的利润最大，最大利润是多少；
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损何时亏损）作出预测．
已知：如图一次函数y=
1
2
x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=
1
2
x2+bx+c的图象与一次函数y=
1
2
x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线经过点B（-2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且经过点B（
5
2
，
3
4
），抛物线对称轴左侧与x轴交于点A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线解析式y1和直线BC的解析式y2；
（2）连接AB、AC，求△ABC的面积．
（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点A（-3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明理由．
一直线y1=x+b与抛物线y2=x2+c的交点为A（3，5）和B．
（1）求出b、c和点B的坐标；
（2）画出草图，根据图象同答：当x在什么范围时y1≤y2？
小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢”，于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30°、45°、60°方向推了三次．铅球推出后沿抛物线形运动．如图，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：
铅球的方向与水平线的夹角300450600
铅球运行所得到的抛物线解析式y1=-0.06（x-3）2+2.5y2=
______（x-4）2+3.6		y3=-0.22（x-3）2+4
估测铅球在最高点的坐标P1（3，2.5）P2（4，3.6）P3（3，4）
铅球落点到小明站立处的水平距离9.5m

______m		7.3m
（1）请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；
（2）请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．
如图，直线AB、CD分别经过点（0，1）和（0，2）且平行于x轴，图1中射线OA为正比例函数y=kx（k＞0）在第一象限的部分图象，射线OB与OA关于y轴对称；图2为二次函数y=ax2（a＞0）的图象．
（1）如图l，求证：
AB
CD
=
1
2
；
（2）如图2，探索：
AB
CD
的值．

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