Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，先将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度后得到抛物线直线经过， 两点．

（）结合图象，直接写出不等式的解集．

（）若抛物线的顶点与点关于原点对称，求的值及抛物线的解析式．

（）若直线沿轴向右平移个单位长度后，与（）中的抛物线存在公共点，求代数式的最大值．

Answer 1

【答案】（）．（ ）； ．（）．

【解析】试题分析：（1）令抛物线C1的解析式中x=0，求出y值即可得出点N的坐标，再利用配方法将抛物线C1的解析式配方，即可得出顶点M的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；（2）找出点M关于x轴对称的对称点的坐标，找出点M关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式；（3）由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式，根据直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C2存在公共点，即可得出方程有实数根，利用根的判别式△≥0，即可求出q的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出当时， 取最大值，代入数据求出最值即可．

试题解析：（）由．

配成顶点式得．

∴； ．

则由图知， 的解集为．

（）； ．

(2)∵抛物线的顶点为M(2，1)，

沿x轴翻折后的对称点坐标为(2，1).

∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，

∴抛物线C2的顶点坐标为(2，-1),,

∴p=2(2)=4.

抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，

∴抛物线C2的解析式为．.

（）将， 坐标代入．

得．

则平移后解析式为．

又∵与有支点．

即式中．

．

得．

代数式．

．

∴上式最大值为，上式．