题目内容
3．如图是若干个边长均为1cm的正方形组成的网格，正方形的顶点也叫格点，如果一个多边形的顶点全是格点，这个多边形叫格点多边形，这样的多边形的面积计算起来很方便，只要数一下多边形各边上格点数的总和及这个多边形内的格点数就可以用公式计算，现在我们就来探究这个公式．
探究一 格点多边形内只有一个格点． 请根据图形填写下列表格
探究二 格点多边形内只有两个格点
请在网格中画出符合条件的两个格点多边形，根据你画出的图形，完善表格中相应的内容．
| 图形编号 | 多边形内格点数/个 | 多边形各边上格点数的总和/个 | 多边形的面积/cm2 |
| ① | 1 | 4 | 2 |
| ② | 1 | 5 | $\frac{5}{2}$ |
| ③ | 2 | 10 | 6 |
| ④ | 2 | 4 | 3 |
猜想 当格点多边形内有m个格点并且各边上格点总数的和为n个时，格点多边形的面积S=$\frac{1}{2}$n+m-1（用含m，n的代数式表示）
分析 探究一：观察图象，根据格点的定义，一一计算多边形的面积即可．
探究二：利用探究一寻找规律，即可解决问题．
探究三：寻找规律后即可解决问题．
解答 解：探究一：图形①中，它的各边上格点的个数和为4，面积为2；图形②中，它的各边上格点的个数和5，面积为$\frac{5}{2}$．
探究二：图象如图所示，
图形③中，它的各边上格点的个数和为10，面积为6；图形④中，它的各边上格点的个数和4，面积为3．
故答案分别为4，2；5，$\frac{5}{2}$；10.6；4，3；
探究三：当格点多边形内只有三个格点并且各边上格点数的总和为n个时，格点多边形的面积S=$\frac{1}{2}$n+2．
当格点多边形内有m个格点并且各边上格点总数的和为n个时，格点多边形的面积S=$\frac{1}{2}$n+m-1．
故故答案为$\frac{1}{2}$n+2，$\frac{1}{2}$n+m-1．
点评 此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．
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