Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，交OA于点F，连接EF并延长EF交AB于G，且EG⊥AB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若EF=2FG，AB=12，求图中阴影部分的面积；
（3）若EG=9，BG=12，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：过O点作OH⊥EG于H，如图，
∵OE=OF，
∴EH=FH，
∵EF=2FG，
∴EH=EG，
而EG⊥AB，
∴OH∥BG，
∴EH：EG=EO：EB，
∴BO=2OE，
∴OB=2OC，
∴∠B=30°，∠COB=60°
而BC=AB=6，
∴OC=BC=6，
∴S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形OFD
=•12•6-
=36-12π；

（3）解：在Rt△BEG中，EG=9，BG=12，
∴BE==15，
设⊙O的半径为r，则OB=15-r，
∵OC∥EG，
∴Rt△BOC∽Rt△BEG，
∴OC：EG=BC：BG=BO：BE，即r：9=BC：12=BO：15，
∴BC=r，BO=r，
∴15-r=r，解得r=，
∴BD=BE-ED=15-2×=．
分析：（1）连接OE，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）过O点作OH⊥EG于H，则EH=FH，由EF=2FG，得到EH=EG，又OH∥BG，根据平行线分线段成比例定理得到EH：EG=EO：EB，BO=2OE，则OB=2OC，得到∠B=30°，而BC=AB=6，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OC=BC=6，然后根据三角形和扇形的面积公式利用S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形OFD计算即可；
（3）利用勾股定理得到BE==15，易证Rt△BOC∽Rt△BEG，则OC：EG=BC：BG=BO：BE，即r：9=BC：12=BO：15，得到BC=r，BO=r，则15-r=r，求出r，利用BD=BE-ED计算即可．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了扇形的面积公式以及三角形相似的判定与性质．