题目内容

如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,直线OB交⊙O于点E,D,连接EC,精英家教网CD.
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)求证:BC2=BD•BE;
(3)若tanE=
12
,⊙O的半径为3,求OA的长.
分析:(1)根据题目给的OA=OB,CA=CB的条件,很容易证明直线AB与⊙O的位置关系是相切.
(2)连接AC,根据题目所给的条件去证明△BCD∽△BEC,问题可解.
(3)设BC的长是x,因为△BCD∽△BEC,根据相似三角形的对应边成比例,可求出OB=OA=2x-3,根据勾股定理可求解.
解答:精英家教网解:(1)AB与⊙O相切,连接OC,
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB,
∵点C在⊙O上,
∴AB与⊙O相切

(2)连接OC,∵OC⊥AB,
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°,
又∵DE为⊙O的直径,
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
∵OE=OC,
∴∠E=∠2,
∴∠1=∠E,
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BEC,
BC
BE
=
BD
BC

∴BC2=BD•BE;

(3)∵tanE=
1
2
,∠ECD=90°,
CD
EC
=
1
2

∵⊙O的半径为3,
∴OC=OE=3,
∵△BCD∽△BEC,
BC
BE
=
CD
EC
,设BC=x,
x
OB+3
=
1
2

∴OB=2x-3,
∵∠OCB=90°,
∴OC2+BC2=OB2
∴9+x2=(2x-3)2
∴x1=0(舍去),x2=4,
∴OA=OB=5.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理以及切线的判定和性质,关键是熟记这些性质定理和判定定理.
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