Question

如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）若∠PAF=∠PAB，求证：FP²=FA•FC．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；
（2）因为∠PAB=∠EPC，∠PAF=∠PAB，所以∠PAF=∠EPC．又因为∠APF=∠PCF=90°，所以△APF∽△PCF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明FP²=FA•FC．

解答：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°．
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°．
∴∠PAB=∠EPC．
∴△ABP∽△PCF．
（2）∵∠PAB=∠EPC，∠PAF=∠PAB，
∴∠PAF=∠EPC．
又∵∠APF=∠PCF=90°，
∴△APF∽△PCF．
∴

PF

FC

=

AF

PF

，
∴FP²=FA•FC．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质题目的综合性很强，难度中等，对学生的解题能力要求很高．