Question

【题目】(1)如图(1),已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,证明:△ABD≌△ACE，DE=BD+CE；

(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D, A, E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；

【解析】

（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，

则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

(2)∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE.