Question

如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，在射线CA上截取CD=CP，连接PD．设BP=t．

（1）t为何值时，点D恰好与点A重合？

（2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

图9（1）

Answer 1

解：（1）在一次函数解析式中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，

∴A（3，0），B（0，4）。

在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5。

在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，

∴CD=CP=t。

若点D恰好与点A重合，则BC+CD=AB，即t+t=5，解得：t=。

∴当t=时，点D恰好与点A重合。

（2）当点P与点O重合时，t=4；

当点C与点A重合时，由BC=BA，即t=5，得t=。

∴点P在射线BO上运动的过程中，分为四个阶段：

当0＜t≤时，如题图所示，

此时S=S_△PCD=CP•CD=•t•t=t²。

②当＜t≤4时，如答图1所示，设PC与x轴交于点E，

BD=BC+CD=t+t=t，

过点D作DN⊥y轴于点N，

则ND=BD•sin∠ABO=t•=t

BN=BD•cos∠ABO=t•=t。

∴PN=BN﹣BP=t﹣t=t，ON=BN﹣OB=t﹣4。

∵ND∥x轴，∴△OEP∽△NDP。

∴，即，得：OE=28﹣7t.。

∴AE=OA﹣OE=3﹣（28﹣7t）=7t﹣25。

∴。

③当4＜t≤时，如答图2所示，设PC与x轴交于点E．

AC=AB﹣BC=5﹣t，

∵，

∴CE=AC•tan∠OAB=（5﹣t）×= ﹣t。

∴

。

④当t＞时，无重合部分，故S=0。

综上所述，S与t的函数关系式为：

。

【解析】

试题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的长度；进而利用关系式AB=BC+CD，列方程求出t的值。

（2）点P运动的过程中，分为四个阶段，需要分类讨论：

①当0＜t≤时，如题图所示，重合部分为△PCD；

②当＜t≤4时，如答图1所示，重合部分为四边形ACPE；

③当4＜t≤时，如答图2所示，重合部分为△ACE；

④当t＞时，无重合部分。