Question

如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD
（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=

2

AD；
（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：

CD-BD=

2

AD

；
（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=

12

7

2

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）作MA⊥AD，交DB延长线于M，求出∠2=∠3，∠4=∠ACD，证△ACD≌△ABM，推出AM=AD，CD=BM，得出△MAD是等腰直角三角形，由勾股定理得：DM=

2

AD即可；
（2）在CD上截取CN=BD，连接AN，求出∠ACN=∠ABD，证△ACN≌△ABD，推出AD=AN，∠CAN=∠BAD，得出△DAN是等腰直角三角形，由勾股定理求出DN=

2

AD即可；
（3）延长AO交圆于Q，连接CQ，求出AC=CQ，设BE=x，则AE=3x，AB=x+3x=4x=AC=CQ，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4

2

x，AQ=BC=4

2

x，在Rt△EAC中，由勾股定理求出EC=5x，由相交弦定理得：DE×EC=AE×BE，代入求出DE=

3

5

x，证△ADE∽△CBE，得出

AD

BC

=

AE

CE

，代入求出AD=

12 2

5

x，同理可证△ADF∽△CQF，得出

AD

CQ

=

AF

CF

，求出x=1，代入BC=4

2

x求出即可．

解答：（1）证明：作MA⊥AD，交DB延长线于M，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=90°=∠1+∠2，
∴∠2=∠3，
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠4=∠ACD，
在△ACD和△ABM中

∠2=∠3 AC=AB ∠ACD=∠4

，
∴△ACD≌△ABM（ASA），
∴AM=AD，CD=BM，
∵∠MAD=90°，
∴△MAD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DM=

2

AD，
∵DM=DB+BM=DB+CD，
∴BD+CD=

2

AD；

（2）解：CD-BD=

2

AD．
理由是：如图2，在CD上截取CN=BD，连接AN，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ACN=∠ABD，
在△ACN和△ABD中

AC=AB ∠ACN=∠ABD CN=BD

，
∴△ACN≌△ABD（SAS），
∴AD=AN，∠CAN=∠BAD，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠DAN=∠DAB+∠BAN=90°，
∴△DAN是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DN=

2

AD，
即CD-BD=

2

AD；
故答案为：CD-BD=

2

AD；

（3）解：延长AO交圆于Q，连接CQ，则∠ACQ=90°，
∵△BAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∠ABC=∠Q，
∴∠Q=45°，
∴∠CAQ=45°=∠Q，
∴AC=CQ，
∵AE=3BE，
∴设BE=x，则AE=3x，AB=x+3x=4x=AC=CQ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=4

2

x，
AQ=BC=4

2

x，
∵AB=AC，BO=CO，
∴AO⊥BC，
在Rt△OFC中，CO=

1

2

BC=2

2

x，OF=2

2

x-

12 2

7

，由勾股定理得：CF=

(2 2 x)2+(2 2 x- 12 2 7 )2

=

16x2- 96 7 x+ 288 49

，
在Rt△EAC中，由勾股定理得：EC=

(4x)2+(3x)2

=5x，
由相交弦定理得：DE×EC=AE×BE，
即DE•5x=3x•x，
DE=

3

5

x，
∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴

AD

BC

=

AE

CE

，
∴

AD

4 2 x

=

3x

5x

，
∴AD=

12 2

5

x，
同理可证△ADF∽△CQF，
∴

AD

CQ

=

AF

CF

，
∴

12 2 5 x

4x

=

12 2 7

16x2- 96 7 x+ 288 49

，
7即x²-6x-1=0，
解得：x₁=1，x₂=-

1

7

（舍去）
∴BC=4

2

x=4

2

，
即⊙O的直径是4

2

．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，相交弦定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大．