题目内容

已知：数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x
（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为______．
（2）若点P在A、B之间，请化简：|x+1|-|x-3|．
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明由．
（4）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O（原点）向左运动，同时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？

解：（1）∵1-（-1）=2，2的绝对值是2，1-3=-2，-2的绝对值是2，
∴点P对应的数是1．

（2）原式=2x-2；

（3）设点P表示的数为x，则|x+1|+|x-3|=5
当x≤-1时，原方程可化为：-x-1+3-x=5，解得x=-1.5；

当-1＜x＜3时，原方程可化为：x+1+3-x=5，则4=5 （舍）
当x≥3时，原方程可化为：x+1+x-3=5，解得x=3.5
综上：点P表-1.53.5时，它到点A、点B的距离之和为5；

（4）设同时出发分钟后点P到点A、点B的距离相等．
①点P在点A与点B之间
根据题意，得
5x+1-x=x+3-20x
解得x= $\text{[math]}$ ；
②点B追上点A时，根据题意得
20x-5x=4
解得x= $\text{[math]}$
答：同时出发 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 分钟后点P到点A、点B的距离相等．
分析：（1）若点P对应的数与-1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等；
（2）根据点P所表示的数来去绝对值；
（3）利用当P在A左侧时，当P在B右侧时，分别得出即可；
（4）利用当P点在AB之间时，此时B到P点距离等于A点到P点距离，以及当P点在AB右侧时，此时A、B重合，求出即可．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．