Question

15．已知：如图，二次函数的图象是由y=-x²向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线对称轴l上一动点，求使AP+CP最小的点P的坐标；
（3）M是y轴上一点，且△MAC是以AC为腰的等腰三角形，试求M点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到新的二次函数的解析式和对称轴；
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．点A关于对称轴x=1的对称点是点B （3，0），由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，依此求点P的坐标；
（3）当以AC为腰，A为顶点时和以AC为腰，C为顶点两种情况分类讨论即可确定点M的坐标．

解答 解：（1）二次函数的解析式：y=-（x-1）²+4，对称轴为直线x=1；

（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．
要使PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），抛物线y=-x²+2x+3与y轴交点C的坐标为（0，3）．
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小
设直线BC的解析式为y=kx+3，将B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=2．
∴点P的坐标为（1，2）．

（3）令y=-（x-1）²+4=0，
解得：x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，解得：y=3，
∴C（0，3），
∴AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
如图，当以AC为腰，A为顶点时，此时CO=M₁O，
∴M1的坐标为（0，-3），
当以AC为腰，C为顶点时，此时CM=AC，
即：CM₂=AC=$\sqrt{10}$，CM₃=AC=$\sqrt{10}$，
∴M₂（0，3-$\sqrt{10}$），M₃（0，3+$\sqrt{10}$）

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系，轴对称-最短距离，两点之间线段最短．