Question

【题目】已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．

（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；

（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）所求函数的解析式为，定义域为．（3），，，．

【解析】

（1）根据△ABC为等边三角形，得出，∠B＝60°，由 ，AH⊥BC，求出AH，即得PH=AH-AP=6-x=3，利用勾股定理即可证明；

（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2=PE2．从而可求出答案；
（3）△PHD与△ABH相似，则有=，代入各线段的长短即可求出x的值．

解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．

又∵，AH⊥BC，

∴．

即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．

在Rt△PHD中，HD＝2，

利用勾股定理，得．

∴当x＝3时，⊙P的半径长为．

（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．

在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．

利用勾股定理，得．

∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，

∴∠BAH＝30°．即得．

在⊙P中，PE＝PD．

∵PM⊥EF，P为圆心，

∴．

于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．

即得．

∴所求函数的解析式为，

定义域为．

（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，

∴，

解得：PH＝，

∴x＝AP＝6﹣，

当P在AH的延长线上时，x＝6+；

②当△PHD∽△AHB时，，

即，

解得：PH＝2 ，

∴x＝AP＝6﹣2，

当P在AH的延长线上时，x＝6+2；

，，，．