Question

【题目】观察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

……

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52×　 　＝　 　×25

②　 　×396＝693×　 　；

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并证明；

（3）若（2）中a，b表示一个两位数，例如a＝11，b＝22，则1122×223311＝113322×2211，请写出表示这类“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并写出a+b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①275，572；②63，36；（2）（10a+b）[100b+10（a+b）+a]＝[100a+10（a+b）+b]（10b+a），证明见解析；（3）22≤a+b≤99

【解析】

（1）观察几行等式发现规律，根据规律求解即可；

（2）根据两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数、个位上的数、十位上的数，即可写出等式；

（3）通过观察可知，、都是个位与十位数字相等的两位数，且，则，由此规律写出只含、的规律的式子，再由得的取值范围．

解：（1）观察可知：若两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数字、个位上的数字、十位上的数字，这样的两位数与三位数的积，则等于这个三位数与两位数各自交换个位数字与十位数字所得的三位数与两位数的积，

∴①

②．

故答案为：①、；②、．

（2）

验证：等式左边

等式右边

左边＝右边．

答：表示“数字对称等式”一般规律的式子为：；

（3）规律：若，，（m、n均为1至8的自然数），且，则．的取值范围为：．