Question

如下图所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并两向延长，交圆于P和Q两点．求证PM＝NQ．

Answer 1

答案：
解析：

证明：作OH⊥PQ于H，则PH＝HQ， 　　连接OM，ON， 　　∵M，N分别是弦AB，AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC， 　　又∵AB＝AC，∴OM＝ON．∵OH⊥MN，∴MH＝HN，∴PM＝NQ． 　　分析：欲证PM＝NQ，因为PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH＝HQ．现只要证MH＝HN即可．又M，N分别为弦AB，AC的中点，易知OM＝ON，故原结论可证． 　　小结：本例反复运用垂径定理及其推论来达到证题目的，其中不难体会过圆心作弦的垂线(即弦心距)得到平分弦的重要性质．