Question

10．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM．
（2）当AE=2时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．

解答 （1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DM}\\{∠EDF=∠MDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；

（2）解：设EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=6+2=8，
∴BF=BM-MF=BM-EF=8-x，
∵EB=AB-AE=6-2=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
则EF=5．

点评 此题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．