题目内容

如图，在函数 $数学公式$ （x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1，若P₁的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2，过点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁=________，S₁+S₂+S₃+…+S_n=________．（用n的代数式表示）

6 $\text{[math]}$
分析：由已知得出，点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1的横坐标分别为，2，4，6，…，2n，2（n+1），再由函数y= $\text{[math]}$ ，得各点的纵坐标分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由此通过观察求出S₁，且表示出S₂，S₃，…S_n．从而求出S₁+S₂+S₃+…+S_n．
解答：由已知图象得：
点P₁的坐横标a=2，代入y= $\text{[math]}$ ，得：
y=6，即点P₁的坐标为（2，6）
同理得点P₂的坐标为（4，3）
那么S₁=2×6-（4-2）×3=6．
观察图象及已知函数y= $\text{[math]}$ ，
所以点P_n的横坐标为2n，纵坐标为 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ．
点P_n+1的坐标为的横坐标为2（n+1），纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
根据图象和得到的规律得：
S₁=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ ，S₂=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ ，S₃=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ ，S₄=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ ，…，S_n=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ ，
所以，S₁+S₂+S₃+…+S_n=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ +…+2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$
=2× $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ =12- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案分别为：6， $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查的知识点是反比例函数思想，解答此题的关键是由已知得出点P₁，P₂，P₃，…，P_n，P_n+1的横坐标，再由再由函数y= $\text{[math]}$ ，得出各点的纵坐标，再得出答案．