Question

如图，在等边△ABC中，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F，连接CF．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：菱形的判定,作图—复杂作图

专题：

分析：（1）根据题意画出图形即可；
（2）菱形．首先证得四边形ABCF是平行四边形；然后由对角线AC⊥BF可以推知该平行四边形是菱形．

解答：解：（1）如图所示；

（2）菱形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°．
∴∠DAC=120°．
又∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF=∠ABC=60°，
∴AF∥BC．
∵E为AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中

∠FAE=∠C AE=CE    ∠AEF=∠BEC

，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF=BC．
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵BE⊥AC，
∴平行四边形ABCF是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，作图-复杂作图．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．