Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD边上的中点，P是BC边上的一点，且BP＝2CP．

（1）求证：∠AED＝∠BEC；

（2）判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

（3）如图2，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB可以由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，直接写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）由矩形的性质得出AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，由中点的定义得出DE＝CE＝CD＝1，再由SAS证明△ADE≌△BCE，即可得出结论；

（2）用锐角三角函数求出∠AED＝60°，得出∠BEC＝∠AED＝60°，即可得出结论；

（3）先判断出△AEP≌△FBP，即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝，CD＝AB＝2，∠D＝∠C＝90°，

∵E是CD边上的中点，∴DE＝CE＝CD＝1，

在△ADE和△BCE中，，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴∠AED＝∠BEC；

（2）解：EB平分∠AEC，理由如下：

在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，

∴tan∠AED＝，

∴∠AED＝60°，

∴∠BEC＝∠AED＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，

∴EB平分∠AEC；

（3）解：∵BP＝2CP，BC＝，

∴CP＝，BP＝，

在Rt△CEP中，tan∠CEP＝，

∴∠CEP＝30°，

∴∠BEP＝30°，

∴∠AEP＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠F＝∠CEP＝30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝，

∴∠PAB＝30°，

∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，

在△AEP和△FBP中，，

∴△AEP≌△FBP（AAS），

∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，

变换的方法为：①将△BPF绕点P顺时针旋转120°和△EPA重合，再沿PE折叠；

②将△BPF以过点P垂直于BC的直线折叠，再绕点P逆时针旋转60°．