题目内容
如图所示，已知抛物线y = ax2 + bx + c(a≠0)的顶点为 Q(2，- 1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，连接AC，点P从点C出发沿抛物线向点A运动(点P与点A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点 D。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)连接OP，设点P的坐标为 (x，y)，点P从C 向A运动的过程中，由线段CO、OP、PA、AC 围成的四边形的面积为 S，求S关于P点横坐标x的函数解析式，并求出S的最大值。
(3)在点P从C向 A运动的过程中，若∠DAP = 90°，直接写出符合条件的点 P的坐标。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)连接OP，设点P的坐标为 (x，y)，点P从C 向A运动的过程中，由线段CO、OP、PA、AC 围成的四边形的面积为 S，求S关于P点横坐标x的函数解析式，并求出S的最大值。
(3)在点P从C向 A运动的过程中，若∠DAP = 90°，直接写出符合条件的点 P的坐标。
解：(1)∵ 抛物线y= ax2 + bx + c(a≠0)的顶点为 (2，-1)，
∴ 设该抛物线的解析式为y= a(x - 2)2 -1，
∵ 抛物线与y轴交于点 C(0，3)，
∴ 3 = a(0-2)2-1，
∴ a =1，
∴ 该抛物线的解析式为 y = (x -2)2-1，
即 y= x2 - 4x +3。
( 2 ) 由 x2 - 4x + 3 = 0 ，
得 x1= 1 ， x2 = 3，
∵ A在B的右侧，
∴A(3，0)，B(1，0)，
∴ S△AOC =3×3 ÷2 =
，S△AOP =
∴ 当点P从C运动到B时，即0≤x≤1时，
S= S△AOC - S△AOP =
；
当点P从B运动到A时，即 1 <x<3 时，
S= S△AOC + S△AOP
，
∴ S=
当点P与点 Q重合时，S最大，最大值为 6。
(3)符合条件的点 P的坐标为(2，-1)。
∴ 设该抛物线的解析式为y= a(x - 2)2 -1，
∵ 抛物线与y轴交于点 C(0，3)，
∴ 3 = a(0-2)2-1，
∴ a =1，
∴ 该抛物线的解析式为 y = (x -2)2-1，
即 y= x2 - 4x +3。
( 2 ) 由 x2 - 4x + 3 = 0 ，
得 x1= 1 ， x2 = 3，
∵ A在B的右侧，
∴A(3，0)，B(1，0)，
∴ S△AOC =3×3 ÷2 =
，S△AOP = ∴ 当点P从C运动到B时，即0≤x≤1时，
S= S△AOC - S△AOP =
；当点P从B运动到A时，即 1 <x<3 时，
S= S△AOC + S△AOP
，∴ S=
当点P与点 Q重合时，S最大，最大值为 6。
(3)符合条件的点 P的坐标为(2，-1)。
练习册系列答案
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