Question

12．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象与直线y=k交于点P，过点P作PA₀垂直于x轴，垂足为A₀，x轴上的点A₀、A₁、A₂、…、A_n的横坐标是连续的整数，过点A₀、A₁、A₂、…、A_n分别作x轴的垂线，与曲线y$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）及直线y=k，分别交于点B₁、B₂、…、B_n；C₁、C₂、…、C_n，则点A₀（1，0），$\frac{{C}_{n}{B}_{n}}{{A}_{n}{B}_{n}}$=n．

Answer 1

分析 设P（t，k），根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=tk，解得t=1，则P（1，k），所以A₀（1，0），再根据题意得A₁（2，0），A₂（3，0），…，An（n+1，0），于是可得到C_n（n+1，k），B_n（n+1，$\frac{k}{n+1}$），所以C_nB_n=k-$\frac{k}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$k，A_nB_n=$\frac{1}{n+1}$k，然后计算$\frac{{C}_{n}{B}_{n}}{{A}_{n}{B}_{n}}$的比值．

解答 解：设P（t，k），
∵P（t，k）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上，
∴k=tk，解得t=1，
∴P（1，k），
∴A₀（1，0），
∵点A₀、A₁、A₂、…、A_n的横坐标是连续的整数，
∴A₁（2，0），A₂（3，0），…，An（n+1，0），
∵过点A_n作x轴的垂线，与曲线y$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）及直线y=k分别交于点B_n、C_n，
∴C_n（n+1，k），B_n（n+1，$\frac{k}{n+1}$），
∴C_nB_n=k-$\frac{k}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$k，AnBn=$\frac{1}{n+1}$k，
∴$\frac{{C}_{n}{B}_{n}}{{A}_{n}{B}_{n}}$=$\frac{\frac{n}{n+1}k}{\frac{1}{n+1}k}$=n．
故答案为（1，0），n．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．