Question

 

如图，在平面直角坐标系xOy中, 正方形OABC的边长为2cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=a+bx+c经过点A、B,最低点为M，且＝

(1)求此抛物线的解析式.，并说明这条抛物线是由抛物线y=a 怎样平移得到的。

(2)如果点P由点A开始沿着射线AB以2cm/s的速度移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束.

①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值。

②当PQ取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）此抛物线由抛物线向右平移一个单位，再向下平移17/6个单位得到

（2）

①

②存在一点R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 满足题意

【解析】(1)求出顶点M（1，）   ………………………（1分）

     求出抛物线的解析式为:   ……… (2分)

此抛物线由抛物线向右平移一个单位，再向下平移17/6个单位得到。（3分）

    (2)①由图象知: PB=, BQ= t

∴PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2 + t2      (0≤t≤2)…………………(4分)

=5t2－8t+4 =5(t)2 + (0≤t≤2)

∵5>0，且0≤t≤2∴当t=时, PQ2取得最小值………………………(5分)

此时，PQ=      (6分)       

或分成两种情况讨论：0≤t≤1或1<t≤2，若不分情况PB长写成2-2t，扣一分。，

 ②假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的梯形.……   ……(7分)

这时PB=2=0.4,  BQ=0.8,  P(1.6, －2),  Q(2, －1.2)

R的横坐标为1.6, 把x=1.6代入, 得y=,

∴这时存在R(1.6, )满足题意             (9分)

C：假设BR∥PQ, 则:

直线PQ解析式：y=2x-5.2

直线BR解析式：y=2x-6

 

得到：或

经检验：上述两解均不合题意，舍去（11分）

综上所述, 存在一点R1(2.4, －1.2)， R2(1.6, ) 满足题意. ……（12分)