如图.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A两点与y轴交于点C.动点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式,(2)是否存在点P.使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在.求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在.说明理由．(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E.交直线AC于点D.过点D作x轴的垂线.垂足为F.连接EF.当线段EF的长度最短时.请直接写出点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（4，0），B（-1，0）两点与y轴交于点C，动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．

分析（1）将A、B两点的坐标分别代入y=-x²+bx+c，运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（4，0），B（-1，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，
过点P₁作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC=4，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
设P（m，-m²+3m+4），
则m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴m=2，
此时-m²+3m+4=6，
∴P₁的坐标是（2，6）；
②当点A为直角顶点时，
过A作AP₂⊥AC交抛物线于点P₂，
过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P₂N∥x轴，
∵∠CAO=45°，
∴∠OAP₂=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF，
∴P₂N=NF，
设P₂（n，-n²+3n+4），
则-n+4=-（-n²+3n+4），
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴n=-2，
此时-n²+3n+4=-6，
∴P₂的坐标是（-2，-6）．
综上所述：P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）当EF最短时，点P的坐标是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．
解题过程如下：
连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴$\frac{DF}{CO}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴点D的纵坐标是2，
∴点P的纵坐标也是2，
解-x²+3x+4=2，得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．