Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为G（G在矩形ABCD内部），连接BG并延长交CD于F．

（1）如图1，当AB＝AD时，

①根据题意将图1补全；

②直接写出DF和GF之间的数量关系．

（2）如图2，当AB≠AD时，如果点F恰好为DC的中点，求的值．

（3）如图3，当AB≠AD时，如果DC＝nDF，写出求的值的思路（不必写出计算结果）．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②DF＝GF；（2）；（3）见解析．

【解析】

解：（1）①根据题意作出图形即可；

②连接EG，EF，根据矩形的性质得到∠BAD=∠D=90°，由点A关于BE的对称点为G，得到AE=EG，由E是AD的中点，等量代换得到DE=EG，推出Rt△DEF≌Rt△GEF，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）如图2，连接EF，EG，由四边形ABCD是矩形，得到∠A=∠D=∠C=90°，由点A关于BE的对称点为G，得到EG=AE，∠EGB=∠EGF=∠A=∠D=90°，推出Rt△EGF≌Rt△EDF，根据全等三角形的性质得到GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，根据勾股定理列方程得到，于是得到结论；

（3）根据题意写出解题思路即可．

解：（1）①如图1；

②连接EG，EF，

在矩形ABCD中，

∵∠BAD＝∠D＝90°，

∵点A关于BE的对称点为G，

∴AE＝EG，

∵E是AD的中点，

∴A＝DE，

∴DE＝EG，

在Rt△DEF与Rt△GEF中，，

∴Rt△DEF≌Rt△GEF，

∴DF＝GF；

（2）如图2，连接EF，EG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，

∵E是AD的中点，

∴AE＝ED＝AD，

∵点A关于BE的对称点为G，

∴EG＝AE，∠EGB＝∠EGF＝∠A＝∠D＝90°，

∴EG＝ED，∠EGF＝∠D＝90°，

∵EF＝EF，

在Rt△DEF与Rt△GEF中，，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴GF＝DF，

设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y，

∵F是DC的中点，

∴DC＝2DF，

∴CF＝x，DC＝AB＝BG＝2x，

∴BF＝BG+GF＝3x，

在Rt△BCF中，∠C＝90°，

由勾股定理得BC2+CF2＝BF2，

即y2+x2＝（3x）2，

∴，

∴；

（3）求的值的思路如下：

a．如图3，连接EF和EG，由（2）可知GF＝DF；

b设DF＝x，BC＝y，则有GF＝x，AD＝y，由DC＝nDF，可用含有n和x的代数式表示BF；

c．利用勾股定理，用含有n和x的代数式表示y；

d计算出结果．